Cuando se multiplican dos potencias de la misma base, su resultado es la misma base elevada a una potencia igual a la suma de las potencias de los factores. En otra palabras, para multiplicar expresiones exponenciales de la misma base, se conserva la base común y se suman los exponentes.
¿Qué es la ley de los exponentes?
¿Cuáles son las leyes de los exponentes? – Las leyes de los exponentes son el conjunto de reglas establecidas para resolver las operaciones matemáticas con potencias. La potencia o potenciación consiste en la multiplicación de un número por sí mismo varias veces, y se representan gráficamente de la siguiente manera: x y, Ahora bien, en operaciones de suma, resta, multiplicación y división con una o varias potencias, ¿cómo proceder? Las leyes de los exponentes nos guían para resolver estas operaciones de la manera más simple posible. Veamos.
¿Cuál es la primera ley de los exponentes?
Las leyes de los exponentes – A la hora de evaluar y simplificar exponentes, utilizamos las Leyes de los Exponentes, una serie de reglas que nos sirven para hallar el valor de una expresión más rápidamente. Ley #1: a m ∙ a n = a m + n Cuando se multiplican dos factores con las bases iguales, su producto será esa base elevada a la suma de las potencias.
Explicación: Al hallar el producto de exponentes con bases iguales, estamos contando la cantidad de bases que tenemos para multiplicar. Las potencias nos indican la cantidad de bases que tenemos de cada exponente. Ilustración #1: 6 4 ∙ 6 Sabemos que 6 4 = 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 y que 6 = 6 4 (recuerden que la potencia uno es invisible).
Entonces 6 4 ∙ 6 = ( 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 ) ( 6 ) = ( 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 ) = 6 5 Por tanto, 6 4 ∙ 6 = 6 4 + 1 = 6 5 Ilustración #2: a 3 ∙ a 5 Sabemos que a 3 = a ∙ a ∙ a y que a 5 = a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a, Entonces a 3 ∙ a 5 = ( a ∙ a ∙ a ) ( a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ) = ( a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ) = a 8 Por tanto, a 3 ∙ a 5 = a 3 + 5 = a 8 Ejemplo: Halle el valor de c 6 ∙ c 7 Solución: Como los exponentes que vamos a multiplicar tienen bases iguales, podemos resolver usando la Ley #1 de los exponentes: c 6 ∙ c 7 = c 6 + 7 = c 13 Ley #2: ( a ∙ b ) n = a n ∙ b n La ley #2 se utiliza cuando tenemos dos factores cualquiera elevados por el mismo exponente.
Explicación: El producto de los dos factores elevados por un exponente se puede comportar como un exponente de base única, pero si expandemos la multiplicación y utilizamos la propiedad conmutativa para reorganizar cada uno de los factores, separándolos en una multiplicación de dos exponentes de bases diferentes pero con misma potencia.
Ilustración #1: ( 4 ∙ 5 ) 3 Primero, usamos la definición de exponente para dispersar los dos factores: ( 4 ∙ 5 ) 3 = ( 4 ∙ 5 ) ∙ ( 4 ∙ 5 ) ∙ ( 4 ∙ 5 ) Ahora, usando la propiedad conmutativa multiplicativa, agrupamos términos semejantes: = ( 4 ∙ 4 ∙ 4 ) ∙ ( 5 ∙ 5 ∙ 5 ) Finalmente, por la definición de exponente: = 4 3 ∙ 5 3 Ilustración #2: ( c ∙ d ) 4 Primero, usamos la definición de exponente para dispersar los dos factores: ( c ∙ d ) 4 = ( c ∙ d ) ∙ ( c ∙ d ) ∙ ( c ∙ d ) ∙ ( c ∙ d ) Ahora, usando la propiedad conmutativa multiplicativa, agrupamos términos semejantes: = ( c ∙ c ∙ c ∙ c ) ∙ ( d ∙ d ∙ d ∙ d ) Finalmente, por la definición de exponente: = c 4 ∙ d 4 = c 4 d 4 Ejemplo: Halla el valor de ( 2 a ) 5,
- Solución: Por la Ley #2: ( 2 a ) 5 = ( 2 ∙ a ) 5 = 2 5 ∙ a 5 = 32 a 5 Ley #3: ( a b ) n = a n b n Cuando un cociente (o una fracción) es elevado completamente por un exponente, es favorable usar la Ley #3 para hallar su valor.
- Explicación: El cociente, al igual que los dos factores, se comporta como un exponente de base única.
Si expandemos la multiplicación y utilizamos las reglas para multiplicar fracciones, vemos que, aunque tengan bases diferentes, al final tienen la misma potencia. Ilustración #1: ( 7 5 ) 3 Primero, usamos la definición de exponente para dispersar el cociente: ( 7 5 ) 3 = ( 7 5 ) ∙ ( 7 5 ) ∙ ( 7 5 ) Ahora, usando la regla de multiplicacioacute; de fracciones, agrupamos términos semejantes, tanto del numerador, como del denominador: = 7 ∙ 7 ∙ 7 5 ∙ 5 ∙ 5 Finalmente, aplicamos la definición de exponente: = 7 3 5 3 Ilustración #2: ( p q ) 5 Primero, usamos la definición de exponente para dispersar el cociente: ( p q ) 5 = ( p q ) ∙ ( p q ) ∙ ( p q ) ∙ ( p q ) ∙ ( p q ) Ahora, usando la regla de multiplicacioacute; de fracciones, agrupamos términos semejantes, tanto del numerador, como del denominador: = p ∙ p ∙ p ∙ p ∙ p q ∙ q ∙ q ∙ q ∙ q Finalmente, aplicamos la definición de exponente: = p 5 q 5 Ejemplo: Halle el valor de ( 3 x y ) 4,
Solución: Por la Ley #3: ( 3 x y ) 4 = ( 3 ∙ x y ) 4 = 3 4 ∙ x 4 y 4 = 81 x 4 y 4 Ley #4: ( a n ) m = a n ∙ m La cuarta ley de los exponentes es necesaria cuando tenemos un exponente dentro de otro exponente. Explicación: La base a es multiplicada un número determinado de veces, n, Luego, toda esa multiplicación expandida es multiplicada otro número determinado de veces, m,
En otras palabras: al expandirse, a n contiene n cantidad de a, pero al estas ser elevadas a la m, tendremos a multiplicada por sí misma mn veces. Ilustración #1: ( 3 2 ) 5 Expandemos 3 2 : ( 3 2 ) 5 = ( 3 ∙ 3 ) 5 Entonces, expandemos ( 3 ∙ 3 ) 5 ( 3 ∙ 3 ) 5 = ( 3 ∙ 3 ) ∙ ( 3 ∙ 3 ) ∙ ( 3 ∙ 3 ) ∙ ( 3 ∙ 3 ) ∙ ( 3 ∙ 3 ) = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 Aplicando la definición de exponente: = 3 10 Ilustración #2: ( d 4 ) 2 Expandemos d 4 : ( d 4 ) 2 = ( d ∙ d ∙ d ∙ d ) 2 Entonces, expandemos ( d ∙ d ∙ d ∙ d ) 2 ( d ∙ d ∙ d ∙ d ) 2 = ( d ∙ d ∙ d ∙ d ) ∙ ( d ∙ d ∙ d ∙ d ) = d ∙ d ∙ d ∙ d ∙ d ∙ d ∙ d ∙ d Aplicando la definición de exponente: = d 8 Ejemplo: Halle el valor de ( 5 g 4 ) 3,
Solución: Por la Ley #4: ( 5 g 4 ) 3 = 5 3 ∙ ( g 4 ) 3 = 125 ∙ g 4 ∙ 3 = 125 g 12 Ley #5: a m a n = a m – n, a ≠ 0 La Ley #5 se aplica solamente cuando estamos hallando el cociente de dos exponentes con bases iguales. Explicación: Mientras hallamos el cociente, estamos contando cuántas bases tiene, tanto en el numerador como en el denominador.
De ahí, eliminamos la cantidad mínima de bases de ambas expresiones, en otras palabras, simplificamos eliminando la potencia menor de la mayor. Ilustración #1: 3 6 3 2 Expandemos tanto el numerador como el denominador, por la definición de exponente: 3 6 3 2 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 3 ∙ 3 Entonces eliminamos bases semejantes (simplificamos) hasta que el numerador o el denominador se quede igual a 1.3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 3 ∙ 3 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 1 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 Finalmente, por la definición de exponente: 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 3 4 Ilustración #2: r 9 r 8 Expandemos tanto el numerador como el denominador, por la definición de exponente: r 9 r 8 = r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r Entonces eliminamos bases semejantes (simplificamos) hasta que el numerador o el denominador se quede igual a 1.
- R ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r = r 1 = r Ejemplo: Halle el valor de 8 c 15 4 c 3 Solución: Primero simplificamos los enteros.
- Por la propiedad multiplicativa de los números racionales: 8 c 15 4 c 3 = 8 4 ∙ c 15 c 3 = 2 ∙ c 15 c 3 Finalmente, por la Ley #5, hallamos el cociente de los exponentes: 2 ∙ c 15 c 3 = 2 ∙ c 15 – 3 = 2 c 12 Ley #6: a 0 = 1, a ≠ 0 Toda expresión elevada a cero es igual a uno excepto el cero.
Explicación: a 0 es el resultado de una diferencia de potencias iguales, del cual sabemos por la Ley #5, sale del cociente de dos exponentes. Como el denominador de cualquier fracción no puede ser cero.0 0 no es igual a uno. Ilustración: Por la Ley #5, podemos darle un valor a cero y revertirlo a un cociente, digamos 2 – 2 : a 0 = a 2 – 2 = a 2 a 2 Por definición de exponente: a 2 a 2 = a ∙ a a ∙ a Ahora, simplificamos, eliminando bases semejantes hasta que el numerador o el denominador se quede igual a 1: a ∙ a a ∙ a = 1 1 = 1 Por tanto, a 0 = 1 Ley #7: a – n = 1 a n, a ≠ 0 Toda expresión elevada a un número negativo es equivalente a su recíproco pero con el exponente siendo positivo.
¿Cómo sacar la ley de los exponentes?
Cuando dos potencias de una misma base común se multiplican, la potencia es igual a la base elevada a la suma de los exponentes, su representación algebraica es (a)m⋅(a)n=(a)m+n.
¿Cuál es la segunda ley de los exponentes?
La segunda ley de los exponentes establece que el cociente de potencias con la misma base (distinta de cero) es igual a la base elevada a la resta de los exponentes.
¿Cuál es la ley de los signos?
Tema #1: Aplicación de la Ley de los signos (1)
- Módulo de Aprendizaje #1
- Área: Matemáticas
- Tema 1: Aplicación de la Ley de los signos
- Grupo pedagógico: Middle School 7o grado (1)
- Semana: Del 7 al 11 de Septiembre 2020
- Nombre del Guía pedagógico: Miss Melissa Artiga
Correo: [email protected] 1) Objetivo del tema:
- Reconocer los signos correctos en cada resultado.
- Aplicar la ley de los signos en diferentes operaciones básicas.
2) Desarrollo de todo el tema (colocar su texto previamente analizado y con información confiable) Ley de los signos Los signos de matemáticas conocidos como +, -, x y ÷, son símbolos aritméticos para indicar el estado de una operación matemática. Este tipo de operaciones son conocidas como la adición, sustracción, multiplicación y división.
- Asímismo, también pueden englobar a los signos algebraicos en las operaciones.
- Dicha ley de los signos está basada en la multiplicación.
- Es decir, se rige para que los números se multipliquen como corresponda.
- La ley se basa en lo siguiente: si los signos son iguales el resultado debe ser positivo.
- En cambio si los signos son diferentes el resultado será negativo.
En otras palabras podría decirse que signos iguales se suman, signos diferentes se restan. Esto va relacionado en operaciones básicas con números enteros. Es por ello que esta forma o ley se debe memorizar de una forma simple para realizar otro tipo de operaciones.
- Ejemplo #1
- Multiplicación
- (26) x (-13) = – 338 Recuerda que dos signos diferentes te dará un número negativo de resultado.
- (25) x (25) = 625 Recuerda que dos signos iguales te dará un número positivo de resultado.
- Nota importante:
- La ley de los signos se aplica de la misma manera en multiplicaciones y divisiones.
- Ejemplo de Sumas
- 14 + 17 = 31 Ambos signos son positivos, realizamos una suma como lo hemos hecho siempre.
- (- 6) + (- 2) = – 8 Cuando son dos signos negativos se suman y se escribe el mismo signo negativo.
- (- 7) + 4 = – 3 Cuando el primer número sea negativo y el segundo positivo lo restas y escribes el signo negativo.
- En suma de números positivos con números positivos, el resultado es un número positivo.
- De ser una suma de un número negativo con otro número negativo, el resultado es negativo.
- Si se trata de un número positivo con un número negativo el signo en el resultado es del número entero de mayor valor.
- Ejemplo de Restas
- 6 – 4 = 2 Ambos signos son positivos y el resultado siempre dará positivo.
- (- 7) – (- 4) = – 3 Ambos signos son negativos, se restan y se escribe el mismo signo negativo.
Nota: se debe tomar en cuenta que si un número no posee un signo evidente este se sobre entiende que es de signo positivo + y no es necesario escribirlo. En el caso de ser un resultado negativo, se necesita escribir el signo negativo. Las matemáticas en algunas ocasiones suelen ser un poco difíciles de entender.
¿Qué es potenciación y sus reglas?
Potencia: es multiplicar varias veces el mismo número por sí mismo. El número que multiplicamos se llama base, y el exponente es el número de veces que se multiplica. Por ejemplo, 2 · 2 · 2 · 2 · 2= 2 5 = 32. Aquí, la base es 2, el exponente 5 y el resultado, 32.
¿Qué pasa si la potencia es negativa?
La potencia de un número con exponente negativo es igual al inverso del número elevado a exponente positivo.
¿Cuál es la tercera ley de los exponentes?
La tercera ley de los exponentes establece que cualquier base distinta de cero elevada a la cero es uno.
¿Cuántas leyes de la potencia hay?
No hay más leyes generales para potencias. En particular, las potencias se llevan mal con la suma. Es decir, en general las siguientes ecuaciones no son identidades o dicho de otra manera: existen valores para las variables para los cuales la ecuación es falsa.
¿Cuál es la cuarta ley de los exponentes?
La cuarta ley de los exponentes establece cuando se eleva una potencia una base distinta de cero a otra potencia, los exponentes se multiplican.
¿Cuál es la ley de los exponentes en la multiplicación?
Propiedades de los exponentes fraccionarios – Los exponentes fraccionarios provienen de extraer una raíz a una potencia cuando el exponente del término radicando se divide por el índice de la raíz; si el cociente no es una cantidad entera, la división queda indicada, dando lugar al exponente fraccionario. La ley de los exponentes en la multiplicación, que nos dice que para multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes y se aplica de la misma manera cuando las cantidades que se multiplican tienen exponentes negativos o fraccionarios. La ley de los exponentes en la división que nos dice que para dividir potencias de la misma base se resta el exponente del dividendo, se aplica igualmente cuando los exponentes de las cantidades que se dividen son negativos o fraccionarios. Ejemplo práctico: Resolver la siguiente expresión utilizando las propiedades de los exponentes. Paso 1. Cambiar la expresión en radicales a exponentes fraccionarios Paso 2, Con base a las propiedades citadas anteriormente multiplicar los exponentes fraccionarios obtenidos en el paso anterior Nota.- Siempre que sea posible se tiene que simplificar una fracción a su equivalente. Paso 3. Expresar el resultado dejando la base de la expresión con el exponente que se obtuvo en el paso anterior. Así también observa que es posible expresar el resultado nuevamente en forma de raíz.
¿Cómo se multiplica la potencia?
Cuando se multiplican dos potencias de la misma base, su resultado es la misma base elevada a una potencia igual a la suma de las potencias de los factores. En otra palabras, para multiplicar expresiones exponenciales de la misma base, se conserva la base común y se suman los exponentes.
¿Qué son los exponentes y cuál es su función?
Partes de una potencia – Las potencias están formadas por la base y por el exponente. La base es el número que se está multiplicando varias veces y el exponente es el número de veces que se multiplica la base.