Cuando se multiplican dos potencias de la misma base, su resultado es la misma base elevada a una potencia igual a la suma de las potencias de los factores. En otra palabras, para multiplicar expresiones exponenciales de la misma base, se conserva la base común y se suman los exponentes.
¿Cuáles son las leyes de los exponentes y ejemplos?
Leyes de los exponentes
| Ley | Ejemplo |
|---|---|
| x 0 = 1 | 7 0 = 1 |
| x – 1 = 1/x | 4 – 1 = 1/4 |
| x m x n = x m + n | x 2 x 3 = x 2 + 3 = x 5 |
| x m /x n = x m-n | x 4 /x 2 = x 4 − 2 = x 2 |
¿Cuántas son las leyes de los exponentes?
No hay más leyes generales para potencias. En particular, las potencias se llevan mal con la suma. Es decir, en general las siguientes ecuaciones no son identidades o dicho de otra manera: existen valores para las variables para los cuales la ecuación es falsa.
¿Qué es la primera ley de los exponentes?
Las leyes de los exponentes – A la hora de evaluar y simplificar exponentes, utilizamos las Leyes de los Exponentes, una serie de reglas que nos sirven para hallar el valor de una expresión más rápidamente. Ley #1: a m ∙ a n = a m + n Cuando se multiplican dos factores con las bases iguales, su producto será esa base elevada a la suma de las potencias.
- Explicación: Al hallar el producto de exponentes con bases iguales, estamos contando la cantidad de bases que tenemos para multiplicar.
- Las potencias nos indican la cantidad de bases que tenemos de cada exponente.
- Ilustración #1: 6 4 ∙ 6 Sabemos que 6 4 = 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 y que 6 = 6 4 (recuerden que la potencia uno es invisible).
Entonces 6 4 ∙ 6 = ( 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 ) ( 6 ) = ( 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 ) = 6 5 Por tanto, 6 4 ∙ 6 = 6 4 + 1 = 6 5 Ilustración #2: a 3 ∙ a 5 Sabemos que a 3 = a ∙ a ∙ a y que a 5 = a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a, Entonces a 3 ∙ a 5 = ( a ∙ a ∙ a ) ( a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ) = ( a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ) = a 8 Por tanto, a 3 ∙ a 5 = a 3 + 5 = a 8 Ejemplo: Halle el valor de c 6 ∙ c 7 Solución: Como los exponentes que vamos a multiplicar tienen bases iguales, podemos resolver usando la Ley #1 de los exponentes: c 6 ∙ c 7 = c 6 + 7 = c 13 Ley #2: ( a ∙ b ) n = a n ∙ b n La ley #2 se utiliza cuando tenemos dos factores cualquiera elevados por el mismo exponente.
Explicación: El producto de los dos factores elevados por un exponente se puede comportar como un exponente de base única, pero si expandemos la multiplicación y utilizamos la propiedad conmutativa para reorganizar cada uno de los factores, separándolos en una multiplicación de dos exponentes de bases diferentes pero con misma potencia.
Ilustración #1: ( 4 ∙ 5 ) 3 Primero, usamos la definición de exponente para dispersar los dos factores: ( 4 ∙ 5 ) 3 = ( 4 ∙ 5 ) ∙ ( 4 ∙ 5 ) ∙ ( 4 ∙ 5 ) Ahora, usando la propiedad conmutativa multiplicativa, agrupamos términos semejantes: = ( 4 ∙ 4 ∙ 4 ) ∙ ( 5 ∙ 5 ∙ 5 ) Finalmente, por la definición de exponente: = 4 3 ∙ 5 3 Ilustración #2: ( c ∙ d ) 4 Primero, usamos la definición de exponente para dispersar los dos factores: ( c ∙ d ) 4 = ( c ∙ d ) ∙ ( c ∙ d ) ∙ ( c ∙ d ) ∙ ( c ∙ d ) Ahora, usando la propiedad conmutativa multiplicativa, agrupamos términos semejantes: = ( c ∙ c ∙ c ∙ c ) ∙ ( d ∙ d ∙ d ∙ d ) Finalmente, por la definición de exponente: = c 4 ∙ d 4 = c 4 d 4 Ejemplo: Halla el valor de ( 2 a ) 5,
Solución: Por la Ley #2: ( 2 a ) 5 = ( 2 ∙ a ) 5 = 2 5 ∙ a 5 = 32 a 5 Ley #3: ( a b ) n = a n b n Cuando un cociente (o una fracción) es elevado completamente por un exponente, es favorable usar la Ley #3 para hallar su valor. Explicación: El cociente, al igual que los dos factores, se comporta como un exponente de base única.
Si expandemos la multiplicación y utilizamos las reglas para multiplicar fracciones, vemos que, aunque tengan bases diferentes, al final tienen la misma potencia. Ilustración #1: ( 7 5 ) 3 Primero, usamos la definición de exponente para dispersar el cociente: ( 7 5 ) 3 = ( 7 5 ) ∙ ( 7 5 ) ∙ ( 7 5 ) Ahora, usando la regla de multiplicacioacute; de fracciones, agrupamos términos semejantes, tanto del numerador, como del denominador: = 7 ∙ 7 ∙ 7 5 ∙ 5 ∙ 5 Finalmente, aplicamos la definición de exponente: = 7 3 5 3 Ilustración #2: ( p q ) 5 Primero, usamos la definición de exponente para dispersar el cociente: ( p q ) 5 = ( p q ) ∙ ( p q ) ∙ ( p q ) ∙ ( p q ) ∙ ( p q ) Ahora, usando la regla de multiplicacioacute; de fracciones, agrupamos términos semejantes, tanto del numerador, como del denominador: = p ∙ p ∙ p ∙ p ∙ p q ∙ q ∙ q ∙ q ∙ q Finalmente, aplicamos la definición de exponente: = p 5 q 5 Ejemplo: Halle el valor de ( 3 x y ) 4,
- Solución: Por la Ley #3: ( 3 x y ) 4 = ( 3 ∙ x y ) 4 = 3 4 ∙ x 4 y 4 = 81 x 4 y 4 Ley #4: ( a n ) m = a n ∙ m La cuarta ley de los exponentes es necesaria cuando tenemos un exponente dentro de otro exponente.
- Explicación: La base a es multiplicada un número determinado de veces, n,
- Luego, toda esa multiplicación expandida es multiplicada otro número determinado de veces, m,
En otras palabras: al expandirse, a n contiene n cantidad de a, pero al estas ser elevadas a la m, tendremos a multiplicada por sí misma mn veces. Ilustración #1: ( 3 2 ) 5 Expandemos 3 2 : ( 3 2 ) 5 = ( 3 ∙ 3 ) 5 Entonces, expandemos ( 3 ∙ 3 ) 5 ( 3 ∙ 3 ) 5 = ( 3 ∙ 3 ) ∙ ( 3 ∙ 3 ) ∙ ( 3 ∙ 3 ) ∙ ( 3 ∙ 3 ) ∙ ( 3 ∙ 3 ) = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 Aplicando la definición de exponente: = 3 10 Ilustración #2: ( d 4 ) 2 Expandemos d 4 : ( d 4 ) 2 = ( d ∙ d ∙ d ∙ d ) 2 Entonces, expandemos ( d ∙ d ∙ d ∙ d ) 2 ( d ∙ d ∙ d ∙ d ) 2 = ( d ∙ d ∙ d ∙ d ) ∙ ( d ∙ d ∙ d ∙ d ) = d ∙ d ∙ d ∙ d ∙ d ∙ d ∙ d ∙ d Aplicando la definición de exponente: = d 8 Ejemplo: Halle el valor de ( 5 g 4 ) 3,
Solución: Por la Ley #4: ( 5 g 4 ) 3 = 5 3 ∙ ( g 4 ) 3 = 125 ∙ g 4 ∙ 3 = 125 g 12 Ley #5: a m a n = a m – n, a ≠ 0 La Ley #5 se aplica solamente cuando estamos hallando el cociente de dos exponentes con bases iguales. Explicación: Mientras hallamos el cociente, estamos contando cuántas bases tiene, tanto en el numerador como en el denominador.
De ahí, eliminamos la cantidad mínima de bases de ambas expresiones, en otras palabras, simplificamos eliminando la potencia menor de la mayor. Ilustración #1: 3 6 3 2 Expandemos tanto el numerador como el denominador, por la definición de exponente: 3 6 3 2 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 3 ∙ 3 Entonces eliminamos bases semejantes (simplificamos) hasta que el numerador o el denominador se quede igual a 1.3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 3 ∙ 3 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 1 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 Finalmente, por la definición de exponente: 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 3 4 Ilustración #2: r 9 r 8 Expandemos tanto el numerador como el denominador, por la definición de exponente: r 9 r 8 = r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r Entonces eliminamos bases semejantes (simplificamos) hasta que el numerador o el denominador se quede igual a 1.
r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r ∙ r = r 1 = r Ejemplo: Halle el valor de 8 c 15 4 c 3 Solución: Primero simplificamos los enteros. Por la propiedad multiplicativa de los números racionales: 8 c 15 4 c 3 = 8 4 ∙ c 15 c 3 = 2 ∙ c 15 c 3 Finalmente, por la Ley #5, hallamos el cociente de los exponentes: 2 ∙ c 15 c 3 = 2 ∙ c 15 – 3 = 2 c 12 Ley #6: a 0 = 1, a ≠ 0 Toda expresión elevada a cero es igual a uno excepto el cero.
Explicación: a 0 es el resultado de una diferencia de potencias iguales, del cual sabemos por la Ley #5, sale del cociente de dos exponentes. Como el denominador de cualquier fracción no puede ser cero.0 0 no es igual a uno. Ilustración: Por la Ley #5, podemos darle un valor a cero y revertirlo a un cociente, digamos 2 – 2 : a 0 = a 2 – 2 = a 2 a 2 Por definición de exponente: a 2 a 2 = a ∙ a a ∙ a Ahora, simplificamos, eliminando bases semejantes hasta que el numerador o el denominador se quede igual a 1: a ∙ a a ∙ a = 1 1 = 1 Por tanto, a 0 = 1 Ley #7: a – n = 1 a n, a ≠ 0 Toda expresión elevada a un número negativo es equivalente a su recíproco pero con el exponente siendo positivo.
¿Qué es la ley de los exponentes suma y resta?
Para realizar una suma o resta con términos con exponentes, las operaciones deben hacerse en cada uno de los términos ( los exponentes no se pueden ni sumar ni restar). Cuando se multiplican dos términos iguales con exponentes, el resultado será el término elevado a la suma de los exponentes.
¿Cómo es la suma de exponentes?
Suma y resta de potencias de igual base si la base es una variable – Si lo que queremos es sumar y restar potencias con base la misma variable, por ejemplo: x 2 +x 3 +x 2 ≠ x 7 No podemos sumar los exponentes, NUNCA, Tenemos que sumar los términos semejantes, es decir, misma base, mismo exponente.
¿Cuáles son las propiedades de los exponentes?
Es el resultado de dividir dos potencias de la misma base, cuyos exponentes son iguales; lo anterior da como resultado la misma base con exponente cero, recordando que cualquier literal o número elevado a la potencia cero da como resultado la unidad.
¿Qué dice la segunda ley de los exponentes?
La segunda ley de los exponentes establece que el cociente de potencias con la misma base (distinta de cero) es igual a la base elevada a la resta de los exponentes.
¿Cuáles son las leyes de los exponentes y radicales?
Las leyes de los exponentes y radicales establecen una forma simplificada o resumida de trabajar una serie de operaciones numéricas con potencias, las cuales siguen un conjunto de reglas matemáticas. Por su parte, se denomina potencia a la expresión a n, (a) representa el número base y (n o enésima) es el exponente que indica cuántas veces se debe multiplicar o elevar la base según lo expresado en el exponente.
¿Cómo calcular la potencia ejemplos?
Potencia: es multiplicar varias veces el mismo número por sí mismo. El número que multiplicamos se llama base, y el exponente es el número de veces que se multiplica. Por ejemplo, 2 · 2 · 2 · 2 · 2= 2 5 = 32. Aquí, la base es 2, el exponente 5 y el resultado, 32.
¿Cómo se dividen los exponentes?
La división de potencias con el mismo exponente es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.
¿Qué es potenciación 5 ejemplos?
¿Qué es una potencia? – Las potencias sirven para escribir una multiplicación formada por varios números iguales de una manera más simplificada. Por ejemplo, 5 x 5 x 5 x 5. Estamos multiplicando 4 veces el número 5. Para ponerlo en forma de potencia escribimos primero el 5 y arriba a la derecha escribimos el 4 en pequeño.