Ley de signos en la división – Cuando dividimos dos números reales, el resultado es igual a la división de las cifras con el signo según se muestra en la tabla:
| División | + | – |
|---|---|---|
| + | + | – |
| – | – | + |
Es decir:
si se dividen dos números con signo “+”, el resultado tendrá el signo “+”; si se dividen dos números con signo “-“, el resultado tendrá el signo “+”; y si se dividen un número con signo “+” y otro con signo “-“, el resultado tendrá el signo “-“.
¿Cuándo se multiplican dos negativos?
El producto de dos números negativos es positivo.
¿Qué pasa si multiplicas un número negativo?
Multiplicar un número por un número negativo es sumar reiteradamente el opuesto del primer número. En esta escena puedes modificar los valores del primer y segundo factor incluso dando valores negativos entre +9 y -9. El producto de dos números con el mismo signo es un número positivo.
¿Cuáles son los tipos de multiplicación?
Este post vamos a dedicarlo a ver las propiedades de la multiplicación, que son las siguientes: conmutativa, asociativa, elemento neutro y distributiva.
¿Qué es la multiplicación y cuáles son sus propiedades?
Las propiedades de la multiplicación son aquellas reglas que se cumplen al efectuar dicha operación. La multiplicación consiste en sumar un número tantas veces como indica el otro número, es decir, al multiplicar 4 por 6 estamos sumando cuatro veces 6 o sumando seis veces el número 4.
¿Qué pasa con los exponentes en una multiplicación?
Reglas de los Exponentes
- Reglas de los Exponentes
- Objetivos de Aprendizaje
- · Entender las reglas de los exponentes.
- · Simplificar y resolver expresiones en notación exponencial.
Necesitamos un lenguaje común para comunicar ideas matemáticas clara y eficientemente. La es un ejemplo. Fue desarrollada para expresar multiplicaciones repetidas y para hacer más fácil escribir números largos. Por ejemplo, modelos de crecimiento de poblaciones normalmente usan exponentes para manejar y manipular números grandes que cambian rápido con el tiempo.
Para trabajar con exponentes, necesitamos “hablar el lenguaje” y aprender primero algunas reglas. ¿Qué es la Notación Exponencial? La notación exponencial tiene dos partes. La, como el nombre lo dice, es el número de abajo. La otra parte de la notación es un número pequeño escrito en el superíndice a la derecha de la base, se llama,
Abajo hay algunos ejemplos de la notación exponencial Usaremos estos ejemplos para aprender sobre la notación. Empecemos con 10 3, La base es 10. Esto significa que 10 es un, y que va a ser multiplicado por sí mismo cierto número de veces. El número preciso de veces está dado por el exponente, el número en el superíndice.
En este caso, el exponente es 3, lo que significa que la base 10 será usada como factor 3 veces. Entonces 10 3 significa 10 • 10 • 10. Ahora sabemos lo que significa 10 3, pero ¿cómo lo pronunciamos? Tenemos muchas opciones: este término podría decirse como “10 elevado a la tercera potencia” o “10 a la tercera, o “10 al cubo.” Las palabras ” ” se insertan entre la base y el exponente para indicar la notación exponencial.
Bien. Consideremos 25 1, ¿Qué significa el exponente 1? Cualquier valor elevado a la potencia de 1 es simplemente el mismo valor. Esto tiene sentido cuando pensamos en ello, porque el exponente 1 significa la base es usada como factor sólo una vez. Entonces la base está sola, y 25 1 es simplemente 25.
- Esto nos deja con el término -3 4,
- Este ejemplo es un poco complicado porque hay un signo negativo.
- Una de las reglas de la notación exponencial es que el exponente se relaciona sólo con el valor inmediato a su izquierda.
- Entonces, -3 4 no significa -3 • -3 • -3 • -3.
- Significa ” el opuesto de 3 4,” o — (3 • 3 • 3 • 3).
Si quisiéramos que la base fuera -3, tendríamos que usar paréntesis en la notación: (-3) 4, ¿Por qué tan exigentes? Bueno, haz las cuentas:
- -3 4 = – (3 • 3 • 3 • 3) = -81
- (-3) 4 = -3 • -3 • -3 • -3 = 81
- Eso es una diferencia importante.
Reglas para Calcular Exponentes Hemos aprendido la regla de que el exponente sólo se relaciona con el número directamente a su izquierda a menos que se use un paréntesis — cuando un exponente se encuentra fuera el paréntesis, todo se eleva a esa potencia.
Considera el siguiente ejemplo: (5 + 3) 2 De acuerdo con el orden de operaciones, debemos primero simplificar lo que está entre paréntesis antes de hacer cualquier otra operación. Entonces sumamos 5 y 3 y luego elevamos la suma, 8, al cuadrado para obtener 64. Otra forma de proceder es reescribir (5 + 3) 2 como (5 + 3)(5 + 3), y luego multiplicarlo para obtener una vez más 64.
(5 + 3) 2 = (8) 2 = 8 • 8 = 64 (5 + 3) 2 = (5 + 3)(5 + 3) = 5(5 + 3) + 3(5 +3) = 25 + 15 + 15 + 9 = 64 Los paréntesis pueden ser usados de otras formas con la notación exponencial. Por ejemplo, podemos usarlos para describir un término exponencial a una potencia.
Por ejemplo, tomemos 5 2 y lo elevamos a la 4 ta potencia. Escribimos eso como (5 2 ) 4, Cuando un número escrito con la notación exponencial es elevado a una potencia, se llama “la potencia de una potencia.” En esta expresión, la base es 5 2 y el exponente es 4: 5 2 se usará como factor 4 veces. Podemos reescribir este problema como 5 2 • 5 2 • 5 2 • 5 2 o (5 • 5) • (5 • 5) • (5 • 5) • (5 • 5).
Nota que resulta 5 multiplicado 8 veces. ¿De qué otra forma podemos escribir eso? 5 8, Esto nos lleva a otra regla. Compara 5 8 con el término original de (5 2 ) 4, Nota que el nuevo exponente es igual al producto de los exponentes originales: 2 • 4 = 8.
Un atajo para simplificar la potencia de una potencia es multiplicar los exponentes y usar la misma base. Hay también una regla para combinar dos números en forma exponencial que tienen la misma base. Considera la siguiente expresión: (2 3 )(2 4 ) Esto puede reescribirse como (2 • 2 • 2) (2 • 2 • 2 • 2) o 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2.
En forma exponencial, escribirías el producto como 2 7, Nota que 7 es la suma de los dos exponentes originales, 3 y 4. Para multiplicar términos exponenciales con la misma base, simplemente sumas los exponentes.
- Reglas de los Exponentes
- Un exponente sólo aplica al valor que esta inmediatamente a su izquierda
- Cuando una cantidad entre paréntesis es elevada a una potencia, el exponente aplica a todo lo que está dentro del paréntesis.
- Para multiplicar dos términos que tienen la misma base, sumar sus exponentes. ( n x )( n y )= n x+y
- Para elevar la potencia a una potencia, multiplicar los exponentes. ( n x ) y = n xy
- Simplifica la expresión, manteniendo la respuesta en notación exponencial.
- (2 3 • 2 2 ) 4
- A) 2 24
- B) 4 9
- C) 2 20
- D) 2 9
A. Incorrecto.2 24 no es equivalente a (2 3 • 2 2 ) 4, Los exponentes se multiplican sólo cuando tienes la potencia de una potencia, no cuando multiplicas términos. En ese caso sumas los exponentes. La cantidad entre paréntesis es 2 5, no 2 6, La respuesta correcta es 2 20,B.
Incorrecto.4 9 no es equivalente a (2 3 • 2 2 ) 4, Cuando multiplicas potencias, sumas los exponentes pero conservas la misa base. La cantidad entre paréntesis es 2 5, Entonces para elevar a la potencia de 4, multiplicas los exponentes 5 y 4. La respuesta correcta es 2 20,C. Correcto. (2 3 • 2 2 ) 4 = 2 20,
Primero, simplificas lo que está dentro de los paréntesis: 2 3 • 2 2 = 2 5 (sumas los exponentes). Luego elevas ese término a la potencia fuera de los paréntesis: ( 2 5 ) 4 = 2 20 (multiplicas los exponentes).D. Incorrecto.2 9 no es equivalente a (2 3 • 2 2 ) 4,
En esta respuesta incorrecta, todos los exponentes fueron sumados. pero cuando calculas la potencia de una potencia, debes multiplicar los exponentes. (2 3 • 2 2 ) 4 = ( 2 5 ) 4 = 2 20, La respuesta correcta es 2 20, Exponentes Cero y Negativos Los exponentes no son siempre positivos. Pero, ¿qué significa cuando un exponente es 0 o un número negativo? Vamos a usar lo que sabemos de las potencias de 10 para averiguarlo.
Abajo hay una lista de potencias de 10 y sus valores equivalentes. Mira cómo cambian los números cuando vamos hacia abajo de las columnas izquierda y derecha. Hay un patrón ahí — ¿lo ves?
| Forma Exponencial | Forma Expandida | Valor |
| 10 5 | 10 • 10 • 10 • 10 • 10 | 100,000 |
| 10 4 | 10 • 10 • 10 • 10 | 10,000 |
| 10 3 | 10 • 10 • 10 | 1,000 |
| 10 2 | 10 • 10 | 100 |
| 10 1 | 10 | 10 |
De arriba hacia abajo de la tabla, cada fila pierde un factor de 10 del valor anterior. De la fila 1 a la fila 2, la forma exponencial va de 10 5 a 10 4, El valor cae de 100,000 a 10,000. Otra forma de describir esto es que cada valor es dividido entre 10 para producir el siguiente valor hacia abajo de la columna.
| Forma Exponencial | Forma Expandida | Valor |
| 10 5 | 10 • 10 • 10 • 10 • 10 | 100,000 |
| 10 4 | 10 • 10 • 10 • 10 | 10,000 |
| 10 3 | 10 • 10 • 10 | 1,000 |
| 10 2 | 10 • 10 | 100 |
| 10 1 | 10 | 10 |
| 10 0 | 1 | 1 |
| 10 -1 | 0.1 | |
| 10 -2 | 0.01 |
Siguiendo el patrón, vemos que 10 0 es igual a 1. Luego llegamos a los exponentes negativos: 10 -1 es igual a, y 10 -2 es lo mismo que, Se ve interesante. Observa de nuevo la tabla, y busca qué representa 10 en la forma exponencial. Es 10 1, Si sustituimos esa forma de 10 en la fracción, la fracción se convierte en,
- Entonces 10 -1 =,
- Algo muy similar puede hacerse con 10 -2 : 10 -2 = y 100 = 10 2 10 -2 = ¿Cómo ves? Los números con exponentes negativos pueden escribirse como fracciones, y no sólo cualquier fracción.
- Un número elevado a una potencia negativa es equivalente al recíproco del número elevado al opuesto de la potencia.
Suena complicado, pero sólo significa lo que hemos visto. Un número elevado a una potencia negativa es igual a 1 dividido entre el número elevado a la misma potencia pero positiva. Por ejemplo, 10 -3 = y 10 -7 =, Para ver si estos patrones son ciertos para otros números que no sean 10, observa la tabla con potencias de 3:
| Forma Exponencial | Forma Expandida | Valor |
| 3 5 | 3 • 3 • 3 • 3 • 3 | 243 |
| 3 4 | 3 • 3 • 3 • 3 | 81 |
| 3 3 | 3 • 3 • 3 | 27 |
| 3 2 | 3 • 3 | 9 |
| 3 1 | 3 | 3 |
| 3 0 | 1 | 1 |
| 3 – 1 | ||
| 3 – 2 |
Sí, se parece a la tabla anterior. Los números son diferentes pero los patrones son los mismos. Ahora sabemos cómo se comportan los números con exponente cero y negativo. Más Reglas de los Exponentes Para cualquier número distinto de cero n, n 0 = 1. Por ejemplo, 18 0 = 1.
- Luisa y Michele trabajan juntas para simplificar la siguiente expresión exponencial:
- (3 + 2) 2 • (5 3 ) 2 • (5 0 )( 5 4 )
- Descubren que ambas tienen soluciones diferentes:
- Solución de Luisa: 3 2 • 2 2 • 5 6 • 5 4 = 3 2 • 2 2 • 5 10
- Solución de Michele: 5 2 • 5 5 • 0 = 0
- ¿Cuál de las dos chicas ha usado apropiadamente las reglas de los exponentes para obtener correctamente una expresión exponencial simplificada?
- A) Ambas, Luisa y Michele tienen respuestas correctas y equivalentes a la expresión original.
- B) Ni Luisa ni Michele tienen respuestas correctas.
- C) Sólo Luisa ha simplificado correctamente la expresión original.
- D) Sólo Michele ha simplificado correctamente la expresión original.
A) Incorrecto. Luisa ha simplificado incorrectamente el primer término de la expresión. (3 + 2) 2 = 5 2 o 25, no 3 2 • 2 2, lo cual es 9 • 4 o 36. Michele ha cometido dos errores en su trabajo. Primero para simplificar la potencia de una potencia, debió haber multiplicado, no sumado, los exponentes: (5 3 ) 2 = 5 6,
- Segundo, (5 0 )(5 4 ) = 5 4, porque 5 0 = 1 o porque (5 0 )(5 4 ) = 5 0 + 4,
- La respuesta correcta es B, ambas están equivocadas.
- B) Correcto.
- Ninguna de las chicas ha simplificado correctamente.
- Luisa ha simplificado incorrectamente el primer término de la expresión.
- 3 + 2) 2 = 5 2 o 25, 3 2 • 2 2, lo cual es 9 • 4 o 36.
Michele ha cometido dos errores en su trabajo. Primero, para simplificar la potencia de una potencia, debió haber multiplicado, no sumado, los exponentes: (5 3 ) 2 = 5 6, Segundo, (5 0 )(5 4 ) = 5 4, porque 5 0 = 1 o porque (5 0 )(5 4 ) = 5 0 + 4, (Esta expresión puede ser simplificada como 5 12,) C) Incorrecto.
Luisa ha simplificado incorrectamente el primer término de la expresión. (3 + 2) 2 = 5 2 o 25, no 3 2 • 2 2, lo cual es 9 • 4 o 36. La respuesta correcta es B, ambas están equivocadas. D) Incorrecto. Michele ha cometido dos errores en su trabajo. Primero, para simplificar la potencia de una potencia, debió haber multiplicado, no sumado, los exponentes: (5 3 ) 2 = 5 6,
Segundo, (5 0 )(5 4 )= 5 4, porque 5 0 = 1 o porque (5 0 )(5 4 ) = 5 0 + 4, la respuesta correcta es B, ambas están equivocadas. La notación exponencial está compuesta de una base y un exponente. Es una forma corta de escribir multiplicaciones repetidas, e indican que la base es un factor y el exponente el número de veces que el factor es usado en la multiplicación.
- Un exponente sólo aplica al valor que está inmediatamente a su izquierda.
- Cuando una cantidad entre paréntesis es elevada a una potencia, el exponente aplica a todo lo que está dentro del paréntesis.
- Para multiplicar dos términos que tienen la misma base, se suman sus exponentes ( n x )( n y )= n x+y
- Para elevar una potencia a otra potencia, se multiplican los exponentes. ( n x ) y = n xy
- Para cualquier número distinto de cero n, n 0 = 1.
- Para cualquier número distinto de cero n y cualquier entero x, n – x =,
: Reglas de los Exponentes
¿Qué se hace primero la multiplicación o la división?
¿Cuél es el orden de las operaciones matemáticas? – El orden estándar es el siguiente:
ParéntesisExponentesMultiplicación y divisiónSuma y resta
En otras palabras, en cualquier problema de matemáticas debes empezar resolviendo los paréntesis; luego, van los exponentes; después, las multiplicaciones y divisiones; y por último, las sumas y restas. Cuando las operaciones son del mismo nivel, se resuelven de izquierda a derecha.
- Por ejemplo, si el cálculo contiene más de un exponente, debes resolver primero el que esté más a la izquierda y continuar hacia la derecha.
- Miremos con más detalle el orden de las operaciones con otro problema.
- Este puede parecerte complicado, pero no lo es necesariamente.
- Lo puedes resolver teniendo en cuenta el orden de las operaciones y usando tus habilidades en aritmética,
Resolvamos la siguiente expresión, paso a paso.4//2*3+(4+6*2)+18//3^2-8